Question

 

  已知函數(shù)() =，g ()=+。

 （Ⅰ）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點個數(shù)，并說明理由；

 （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，，證明：存在常數(shù)M,使得對于任意的，都有≤ .

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（I）由知，，而，且，則為的一個零點，且在內(nèi)有零點，因此至少有兩個零點

解法1：，記，則。

當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。又因為，則在內(nèi)有零點，所以在內(nèi)有且只有一個零點。記此零點為，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以，

當(dāng)時，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無零點；

當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點；

從而在內(nèi)至多只有一個零點。綜上所述，有且只有兩個零點。

解法2：，記，則。

當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個零點。因此在內(nèi)也至多只有一個零點，

綜上所述，有且只有兩個零點。

（II）記的正零點為，即。

（1）當(dāng)時，由，即.而，因此，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，由

知，，因此，當(dāng)時，成立。

故對任意的，成立。

（2）當(dāng)時，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)時，有成立，則當(dāng)時，由

知，，因此，當(dāng)時，成立。

故對任意的，成立。

綜上所述，存在常數(shù)，使得對于任意的，都有.