Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁＝5，前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1＝2S_n＋n＋5(n∈N₊)．

(1)證明數(shù)列{a_n＋1}是等比數(shù)列；

(2)令f(x)＝a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ，求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝1處的導(dǎo)數(shù)(1)，并比較2(1)與23n²－13n的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：由已知Sn+1＝2Sn＋n＋5， 　　∴n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n＋4， 　　兩式相減，得 　　Sn+1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1， 　　從而an+1＋1＝2(an＋1)． 　　當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝2S1＋1＋5， 　　∴a1＋a2＝2a1＋6， 　　又a1＝5，故a2＝11， 　　從而a2＋1＝2(a1＋1)． 　　故總有an+1＋1＝2(an＋1)，n∈N+． 　　又∵a1＝5， 　　∴a1＋1≠0，從而an+1＋＝2． 　　即{an＋1}是以a1＋1＝6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． 　　(2)解：由(1)可知an＝3×2n－1． 　　∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn， 　　∴

提示：

本題是典型的結(jié)論不唯一的比較大小的問(wèn)題，在數(shù)列中，大小問(wèn)題可能會(huì)隨“n”變化而變化．往往n＝1，2…前幾個(gè)自然數(shù)對(duì)應(yīng)的值與后面n≥n0的值大小不一樣，這就要求在解答這樣的題時(shí)，要時(shí)刻想著“大小關(guān)系不一定唯一”的念頭，即時(shí)刻提醒自己?jiǎn)栴}是否需要討論．