Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），對于任意的m、n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，且當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
（1）計算f（1）；
（2）證明函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上時單調(diào)函數(shù)；
（3）比較f（

m+n

2

）與

f(m)+f(n)

2

的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用賦值法求f（1）的值，因為定義在（0，+∞）上的函數(shù)f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），所以只需令m=n=1，
即可求出f（1）的值．
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，步驟是，先設(shè)所給區(qū)間上任意兩個自變量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比較f（x₁），f（x₂）的大小，比較時，借助f（m•n）=f（m）+f（n），把x₂用

x2

x1

x1表示即可．
（3）對于x＞0，f（x）=f(

x

•

x

)=f(

x

)+f(

x

)=2f(

x

)，從而f(

x

)=

1

2

f(x)．；再由

m+n

2

≥

mn

及f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，易得f(

m+n

2

)≤f(

mn

)，而f(

mn

)=

1

2

f(mn)=

f(m)+f(n)

2

，結(jié)果可得．

解答： 解：（1）∵定義在（0，+∞）上的函數(shù)f （x）對于任意的m，n∈（0，+∞），滿足f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）．∴f（1）=0
證明：（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，∵f（m•n）=f（m）+f（n）即f（m•n）-f（m）=f（n）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

x1）-f（x₁）=f（

x2

x1

）+f（x₁）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
因為0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，而當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，從而f（x₂）＜f（x₁）
于是f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）對于x＞0，f（x）=f(

x

•

x

)=f(

x

)+f(

x

)=2f(

x

)，∴f(

x

)=

1

2

f(x)．
∵

m+n

2

≥

mn

，∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)
∴f(

m+n

2

)≤f(

mn

)，而f(

mn

)=

1

2

f(mn)=

f(m)+f(n)

2

，
∴f（

m+n

2

）≤

f(m)+f(n)

2

．

點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數(shù)單調(diào)性的能力．