Question

11．已知向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{AC}$的夾角為$θ，|{\overrightarrow{AB}}|=3，|{\overrightarrow{AC}}|=2$，設(shè)向量$\overrightarrow{AP}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，若$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，則θ的大小為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 首先利用向量垂直與向量線性運(yùn)算化簡（$\frac{7}{12}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，從而得出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=-3；再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算公式直接求出θ的值．

解答 解：∵$\$$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$  
∴$；\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}=0$$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}=0$，即（$\frac{7}{12}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0；
化簡后得：$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=-3；
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•cosθ=2×3×cosθ=-3；
∴cosθ=-$\frac{1}{2}$；
∵0≤θ≤π⇒θ=$\frac{2π}{3}$；
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算以及向量基本線性運(yùn)算，屬常規(guī)題型．