Question

若三角形的面積為S，周長為a+b+c，則內切圓的半徑r=

 

，當a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊時，內切圓半徑為r=

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：（1）把該三角形看成是內切圓的圓心到三個頂點所組成的三個小三角形的面積之和，則每個小三角形的高為r，根據三角形的面積計算公式，可得S=

1

2

（a+b+c）r，據此求出r即可；
（2）根據S=

1

2

ab，a²+b²=c²，r=

2S

a+b+c

，推理可得直角三角形的內切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊之差的一半．

解答： 解：（1）如圖，
∵⊙O是△ABC的內切圓，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD=OE=OF=r，
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=

1

2

(a+b+c)r=S，
∴r=

2S

a+b+c

；
（2）當a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊時，
可得S=

1

2

ab，a²+b²=c²，
所以r=

2S

a+b+c

=

ab

a+b+c

=

(a+b)2-c2 2

a+b+c

=

(a+b+c)(a+b-c)

2(a+b+c)

=

a+b-c

2

．
故答案為：

2S

a+b+c

，

a+b-c

2

．

點評：本題主要考查了類比推理的方法，內切圓的性質，以及三角形的面積計算公式的運用，屬于基礎題，要熟記直角三角形的內切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊之差的一半這個結論．