Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin$\frac{π}{2}$x，任取t∈R，定義集合：${A_{t_{\;}^{\;}}}=\left\{{y|y=f（x）\;，\;\;點P（{t\;，\;\;f（t）}）\;，\;\;Q（{x\;，\;\;f（x）}）滿足|{PQ}|≤\sqrt{2}}\right\}$．
設(shè)M_t，m_t分別表示集合A_t中元素的最大值和最小值，記h（t）=M_t-m_t．則函數(shù)h（t）的最大值是2．

Answer 1

分析 理清A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤$\sqrt{2}$}的含義為：表示以P點為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin$\frac{π}{2}x$的圖象上所有的點的縱坐標(biāo)的集合，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值可求得M_t，m_t，從而可求得函數(shù)h（t））=M_t-m_t的最大值

解答 解：A_t={y|y=f（x），表示函數(shù)f（x）的值域，點P（t，f（t）），Q（x，f（x））
滿足|PQ|≤$\sqrt{2}$}的含義為：
表示以P點為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓及其內(nèi)部函數(shù)y=sin$\frac{π}{2}x$的圖象上所有的點的縱坐標(biāo)的集合，
∵f（-2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（-1）=-1，設(shè)O（0，0），A（1，1），B（2，0），
則AO=AB=$\sqrt{2}$，
∴M_t=$\left\{\begin{array}{l}{1，4k≤t≤4k+2}\\{f（t）+\sqrt{2{-{（x}_{0}-t）}^{2}}，4k-2≤t＜4k}\end{array}\right.$，k∈Z，
其中，x₀是最高點Q的橫坐標(biāo)，
同理，m_t=$\left\{\begin{array}{l}{-1，4k-2≤t＜4k，k∈Z}\\{f（t）-\sqrt{2{-{（x}_{1}-t）}^{2}}，4k≤t＜4k+2}\end{array}\right.$，k∈Z．
其中x₁是最低點Q的橫坐標(biāo)．
∴函數(shù)h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2時取得），
故答案為：2．

點評 本題考查函數(shù)的值域，著重考查抽象函數(shù)的理解與應(yīng)用，明確A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤√2}的含義是難點，也是解決問題的關(guān)鍵，考查抽象思維能力與綜合運算能力，屬于難題．