設(shè)拋物線C1：x 2＝4 y的焦點(diǎn)為F，曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

(Ⅰ) 求曲線C2的方程；

(Ⅱ) 曲線C2上是否存在一點(diǎn)P（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)A，B，滿足| AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 


本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系、等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。滿分15分。

(Ⅰ)解；因?yàn)榍�與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又的方程，

所以方程為．                 …………5分

(Ⅱ)解：設(shè)，，,．

的導(dǎo)數(shù)為，則切線的方程，

又，得，

因點(diǎn)在切線上,故．

同理, ．

所以直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，

即直線方程為,即，

代入得，則,，

所以 ，

由拋物線定義得，．

所以，

由題設(shè)知，，即，

解得，從而．

綜上，存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為

 或 ．

                                              …………15分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，焦點(diǎn)為F2；以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，離心率e=
12
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓C2的方程；
（2）當(dāng)△PF1F2的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)時(shí)，求拋物線方程；此時(shí)設(shè)⊙C1、⊙C2…⊙Cn是圓心在y2=4mx（m＞0）上的一系列圓，它們的圓心縱坐標(biāo)分別為a1，a2…an，已知a1=6，a1＞a2＞…＞an＞0，又⊙Ck（k=1，2，…，n）都與y軸相切，且順次逐個(gè)相鄰?fù)馇�，求�?shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，設(shè)拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，焦點(diǎn)為F2；以F1、F2為焦點(diǎn)，離心率e=
12
的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得△PF1F2的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過(guò)橢圓C2的右焦點(diǎn)F2，與拋物線C1交于A1、A2，如果以線段A1A2為直徑作圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年浙江省高三第二學(xué)期第一次統(tǒng)考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

(本題滿分15分) 設(shè)拋物線C1：x 2＝4 y的焦點(diǎn)為F，曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

(Ⅰ) 求曲線C2的方程；

(Ⅱ) 曲線C2上是否存在一點(diǎn)P（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)A，B，滿足| AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆浙江省高三調(diào)研測(cè)試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本題滿分15分) 設(shè)拋物線C1：x 2＝4 y的焦點(diǎn)為F，曲線C2與C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

(Ⅰ) 求曲線C2的方程；

(Ⅱ) 曲線C2上是否存在一點(diǎn)P（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作C1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)A，B，滿足| AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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