Question

在復平面上，正方形ABCD的兩個頂點A，B對應的復數分別為 1+2i，3-5i．求另外兩個頂點C，D對應的復數．

Answer 1

考點：復數代數形式的混合運算

專題：數系的擴充和復數

分析：求出AB所對應的復數，然后分順時針和逆時針旋轉及平移求得C，D所對應的復數．

解答： 解：若ABCD是逆時針排列，
把正方形按向量（-1，-2）平移，
則A到原點，B是（3-5i）+（-1-2i）=2-7i，
把AB繞原點逆時針旋轉90度就是AD，
∴D坐標是i（2-7i）=7+2i，
按向量（1，2）移回原來位置，則D是7+2i+1+2i=8+4i，
同理，把正方形按（-3，5）移動，把B移到原點，
A是-2+7i，
把AB繞B順時針90度，即乘-i，得
（-2+7i）（-i）=7+2i，
在按（3，-5）移回，得C是7+2i+3-5i=10-3i；
若ABCD是順時針排列
把正方形按向量（-1，-2）平移，
則A到原點，B是（3-5i）+（-1-2i）=2-7i，
把AB繞原點順時針旋轉90度就是AD，
∴D坐標是-i（2-7i）=-7-2i，
按向量（1，2）移回原來位置，則D是-7-2i+1+2i=-6，
同理，把正方形按（-3，5）移動，把B移到原點，
A是-2+7i，
把AB繞B逆時針90度，即乘i，得
i（-2+7i）=-7-2i，
在按（3，-5）移回，得C是-7-2i+3-5i=-4-7i．
∴C對應的復數為10-3i，-4-7i．
D對應的復數為8+4i，-6．

點評：本題考查了復數代數形式的混合運算，考查了利用幾何法求復平面內的點對應的復數，是中檔題．