Question

如圖，點A、B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，其中A（-6，0），F(xiàn)（4，0）點P在橢圓上且位于x軸上方，

PA

•

PF

=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）求點P的坐標；
（Ⅲ）設M（m，0）是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|m-6|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用點F是橢圓的右焦點，其中A（-6，0），F(xiàn)（4，0），可求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）設點P的坐標是（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），利用點P在橢圓上且位于x軸上方，

PA

•

PF

=0求點P的坐標；
（Ⅲ）先求出m，再結合橢圓的范圍求解二次函數(shù)的最值，可得橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

解答： 解：（I）由題意知a=6，c=4，∴e=

c

a

=

4

6

=

2

3

，
∴b²=a²-c²=36-16=20，
∴橢圓的方程為

x2

36

+

y2

20

=1，
（II）設點P的坐標是（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），
由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

，
∴2x²+9x-18=0，
∴x=

3

2

或x=-6，∵y＞0，
∴只能x=

3

2

，∴y=

5

2

3

，
∴點P的坐標為（

3

2

，

5

2

3

），
（III）直線AP的方程是x-

3

y+6=0，點M的坐標是（m，0），
則M到直線AP的距離是

|m+6|

2

，于是

|m+6|

2

=|m-6|，
∵-6≤m≤6，解得m=2（m=18舍去）
橢圓上的點（x，y）到點M的距離d有d²=（x-2）²+y²=x2-4x+4+20-

5

9

x2=

4

9

(x-

9

2

)2+15，
∵-6≤m≤6，
∴當x=

9

2

時，d²的最小值是15，
∴d的最小值是

15

．

點評：本題主要考查了橢圓方程及其應用，結合橢圓的范圍求解二次函數(shù)的最值，屬于知識的簡單綜合．