已知橢圓的左、右焦點分別是、，離心率為，橢圓上的動點到直線的最小距離為2，延長至使得，線段上存在異于的點滿足.

（1）   求橢圓的方程；

（2）   求點的軌跡的方程；

（3）   求證：過直線上任意一點必可以作兩條直線

與的軌跡相切，并且過兩切點的直線經(jīng)過定點.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）直線經(jīng)過定點（1,0）.

【解析】本試題主要考查了圓與直線，以及橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用。

解：（1）依題意得，    ………………………………………………2分

解得，∴ ……………………………………………………………3分

橢圓的方程為   …………………………………………………………………4分

（2）解法1：設點T的坐標為(x,y).

當重合時，點坐標為和點，     …………………………………5分

當不重合時，由，得.  ……………………………6分

由及橢圓的定義，， …………7分

所以為線段的垂直平分線，T為線段的中點

在中，，  …………………………………………8分

所以有.

綜上所述，點的軌跡C的方程是.    …………………………………9分

（3）   直線與相離，

過直線上任意一點可作圓的兩條切線   …………10分

所以

所以O,E,M,F四點都在以OM為直徑的圓上，  …………………………11分

其方程④      …………………………12分

  EF為兩圓的公共弦，③-④得：EF的方程為4X+ty -4=0      ………13分

顯然無論t為何值，直線ef經(jīng)過定點(1,0).           ………………14分

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點分別為，其右準線上上存在點（點在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期假期檢測考試理科數(shù)學試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別為，， 點是橢圓的一個頂點，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點（）．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年福建省三明市高三上學期三校聯(lián)考數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年云南省德宏州高三高考復習數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，右準線方程為．

（I）求橢圓的標準方程；

（II）過點的直線與該橢圓交于M、N兩點，且，求直線的方程．

 

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