Question

如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊，兩個銳角,的終邊分別與單位圓相交于A,B 兩點．

（Ⅰ）若，，求的值；

（Ⅱ）若角的終邊與單位圓交于點，設(shè)角的正弦線分別為

，試問：以作為三邊的長能否構(gòu)成一個三角形？若能，請加以證明；若不能，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）以作為三邊的長能構(gòu)成一個三角形.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵0<α<，  tanα＝，∴cosα＝，sinα＝.

又∵0<β<，sinβ＝，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin²β＝，sin2β＝＝.

于是cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝.

由已知條件知0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.  6分

（Ⅱ）解：以作為三邊的長能構(gòu)成一個三角形，證明如下：

∵，∴ 

∴，，

∵，所以，，于是有：

①   8分

又∵，∴，于是有：

②

同理：③

由①②③可知，以作為三邊的長能構(gòu)成一個三角形. 12分

考點：同角間的三角函數(shù)關(guān)系及兩角和的余弦公式

點評：第一問涉及到基本公式有

，求角的大小常首先求角的某一三角函數(shù)值，結(jié)合角的范圍即可求出；第二問判定能否構(gòu)成三角形即判定三邊長是否有任意兩邊之和大于第三邊，確定不等式關(guān)系主要借助于正余弦函數(shù)的有解性