Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點在拋物線y²=8x的準線上，且過點M(

3

，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點F（-2，0），T為直線x=-3上任意一點，過F作直線l⊥TF交橢圓C于P、Q兩點．
①證明：OT經(jīng)過線段PQ中點（O為坐標原點）；②當

|TF|

|PQ|

最小時，求點T的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）橢圓C的一個焦點為：F₁（-2，0），聯(lián)立方程組

a2=b2+c2 3 a2 + 1 b2 =1

，得出方程．（2）①聯(lián)立方程組

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，即（m²+3）y²-4my-2=0，根據(jù)韋達定理求出中的，
即可判斷：OT經(jīng)過線段PQ中點（O為坐標原點）②

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

根據(jù)不等式求解得出T，及最小值．

解答： 解：（1）拋物線y²=8x的準線方程為：x=-2，
∴橢圓C的一個焦點為：F₁（-2，0），
即c=2，F(xiàn)₂（2，0），過點M(

3

，1)．
∴

a2=b2+c2 3 a2 + 1 b2 =1

，a²=6，b²=2，
即橢圓C的方程為：

x2

6

+

y2

2

=1，
（2）①F₁（-2，0），T為（-3，m），直線PQ方程：x=my-2，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，
即（m²+3）y²-4my-2=0，
△=16m²+8（m²+3）＞0，
∵y₁+y₂=

4m

m2+3

，y₁y₂=

-2

m2+3

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=-

12

m2+3

，
∵線段PQ中點M（-

6

M2+3

，

2m

m2+3

），k_OM=-

m

3

T為（-3，m），k_OT=-

m

3

，
∴OT經(jīng)過線段PQ中點M
②|TF|=

m2+1

，|PQ|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

24 (m2+1)

m2+3

|TF|

|PQ|

=

1 24 (m2+1+ 4 m2+1 +4)

≥

3

3

，
當且僅當m²+1=

4

m2+1

，m=±1，等號成立．
此時

|TF|

|PQ|

最小，T（-3，1）或T（-3，-1）

點評：本題綜合考察了直線，拋物線，橢圓的方程，位置關(guān)系，結(jié)合韋達定理，不等式，難度較大．