Question

19．已知O點為△ABC所在平面內一點，且滿足$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，現將一粒質點隨機撒在△ABC內，若質點落在△AOC的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 要求該概率即求S_△AOC：S_△ABC=的比值．由$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，變形為，3$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}$，得到O到AC的距離是E到AC距離的一半，B到AC的距離是O到AC距離的3倍，兩三角形同底，面積之比轉化為概率．

解答 解：以OB、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，則$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，∴3$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}$，作AB的兩個三等分點E，F，則$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{EO}$，
∴O到AC的距離是E到AC距離的一半，B到AC的距離是O到AC距離的3倍，如圖
∴S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC．
將一粒黃豆隨機撒在△ABC內，黃豆落在△AOC內的概率為P=$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$；
故選：B．

點評 本題給出點O滿足的條件，求O點落在△AOC內的概率，利用面積比求得；著重考查了平面向量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等知識．