Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=e^2x-2e^x+a x∈[0，ln3]，求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得
∵函數(shù)f（x）=x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函數(shù)
∴≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≥恒成立
∵（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立）
∴
∴a≥2
（2）設(shè)t=e^x，則g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，
∵x∈[0，ln3]，∴1≤t≤3
①當(dāng)2≤a≤3時，g（t）最小值為a-a²；
②當(dāng)a≥3時，g（t）最小值為9-5a．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得≥0在（1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式，即可確定實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)t=e^x，則g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，1≤t≤3，再分類討論：①2≤a≤3；②a≥3，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查二次函數(shù)最值的研究，分離參數(shù)，利用配方法求二次函數(shù)的最值時關(guān)鍵．