Question

5．已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（1，1+$\sqrt{2}$）；若△ABF₂是直角三角形，則該雙曲線的漸近線的斜率為$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 由過(guò)F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)可知△ABC為等腰三角形，所以△ABF₂為銳角三角形只要∠AF₂B為銳角即可，由此可知 $\frac{^{2}}{a}$＜2c，從而能夠推導(dǎo)出該雙曲線的離心率e的取值范圍．利用∵△ABF₂是直角三角形，$\frac{^{2}}{a}$=2c，可得結(jié)論．

解答 解：根據(jù)題意，易得AB=$\frac{2^{2}}{a}$，F(xiàn)₁F₂=2c，
由題設(shè)條件可知△ABF₂為等腰三角形，
只要∠AF₂B為銳角，即AF₁＜F₁F₂即可；
所以有$\frac{^{2}}{a}＜2c$，
即2ac＞c²-a²，
解出e∈（1，1+$\sqrt{2}$），
把x=-c代入雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．
∵△ABF₂是直角三角形，
∴$\frac{^{2}}{a}$=2c，
化為b⁴-4a⁴-4a²b²=0，
∴$^{2}=（2+2\sqrt{2}）{a}^{2}$，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，
故答案為（1，1+$\sqrt{2}$），$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率和銳角三角形、直角三角形的判斷，在解題過(guò)程中要注意隱含條件的挖掘．