Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求證：直線4x+y+m=0不可能是函數(shù)f（x）圖象的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)可求原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)可求原函數(shù)的減區(qū)間．
（2）將a=1代入函數(shù)確定解析式，然后對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，可發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)不可能等于-4從而得證．
解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=3x²-3a≥0對x∈R恒成立，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜-或x＞，
由f′（x）＜0，得-＜x＜．
此時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-）和（，+∞）；
遞減區(qū)間是（-，）．
（2）證明：∵a=1，∴f′（x）=3x²-3．
直線4x+y+m=0的斜率為-4，假設(shè)f′（x）=-4，即3x²+1=0．
此方程無實(shí)根，∴直線4x+y+m=0不可能是函數(shù)f（x）圖象的切線．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．