Question

10．若f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（$\frac{1}{2}$）=e，則f（lnx）＜x²的解集為（　�。�

• A． （0，$\frac{e}{2}$）
• B． （$\frac{e}{2}$，$\sqrt{e}$）
• C． （$\frac{1}{e}$，$\frac{e}{2}$）
• D． （0，$\sqrt{e}$）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x），求出導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）在R上的單調(diào)性．原不等式等價為F（lnx）＜F（$\frac{1}{2}$），運用單調(diào)性，可得lnx＜$\frac{1}{2}$，運用對數(shù)不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：可構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{2x}}$，
F′（x）=$\frac{f′（x）-2f（x）}{{e}^{2x}}$，
由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增，
∵f（$\frac{1}{2}$）=e，
∴F（$\frac{1}{2}$）=$\frac{e}{e}$=1，
∵不等式f（lnx）＜x²，
∴$\frac{f（lnx）}{{x}^{2}}$＜1，即$\frac{f（lnx）}{{e}^{ln{x}^{2}}}$＜1，（x＞0），
∴F（lnx）＜1=F（$\frac{1}{2}$），
∴l(xiāng)nx＜$\frac{1}{2}$=ln$\sqrt{e}$，
∴0＜x＜$\sqrt{e}$，
故不等式的解集為（0，$\sqrt{e}$）
故選：D

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查構(gòu)造法的運用，以及單調(diào)性的運用，對數(shù)不等式的解法，屬于中檔題