Question

設函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+1(0＜a＜1)，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極大值；
（Ⅱ）記f（x）的導函數(shù)為g（x），若x∈[1-a，1+a]時，恒有-a≤g（x）≤a成立，試確定實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導，結合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（Ⅱ）由題意可得-a≤-x²+4ax-3a²≤a在[1-a，1+a]恒成立，結合二次函數(shù)的對稱軸x=2a與區(qū)間[1-a，1+a]與的位置分類討論進行求解．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-x²+4ax-3a²，且0＜a＜1，（1分）
當f′（x）＞0時，得a＜x＜3a；
當f′（x）＜0時，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，3a）；
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故當x=3a時，f（x）有極大值，其極大值為f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，（7分）
g（x）=x²+4ax-3a²=-（x-3a）（x-a）
①當0＜a＜

1

3

時，1-a＞2a，∴g（x）在區(qū)間[1-a，1+a]內(nèi)單調(diào)遞減
∴[g(x)]max=g(1-a)=-8a2+6a-1，且[g（x）]_min=g（1+a）=2a-1
∵恒有-a≤g（x）≤a成立
∵

-8a2+6a-1≤a 2a-1≥-a

又0＜a＜

1

3

，此時，a∈∅…（10分）
②當2a＞1-a，且2a＜a+1時，即

1

3

＜a＜1，[g（x）]_max=g（2a）=a²．
∵-a≤g（x）≤a，∴

f′(1+a)≥-a    f′(1-a)≥-a   f′(2a)≤a

，即

2a-1≥-a    -8a2+6a-1≥-a   a2≤a

∴

0≤a≤1   a≥ 1 3   7- 17 16 ≤a≤ 7+ 17 16

∴

1

3

≤a≤

7+ 17

16

．（12分）
ⅲ）當2a≥1+a時，得a≥1與已知0＜a＜1矛盾．（13分）
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為

1

3

≤a≤

7+ 17

16

．（14分）

點評：本題綜合考查了函數(shù)的導數(shù)的運用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，
（II）的求解的關鍵是要對二次函數(shù)的對稱軸相對區(qū)間的位置分類討論，體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應用．