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已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=
lnx
x
,其中e是自然常數,a∈R.
(1)討論a=1時,函數f(x)的單調性和極值;
(2)求證:在(1)的條件下,f(x)>g(x)+
1
2
;
(3)是否存在實數a使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)當a=1時,求函數的定義域,然后利用導數求函數的極值和單調性.
(2)利用(1)的結論,求函數f(x)的最小值以及g(x)的最大值,利用它們之間的關系證明不等式.
(3)利用導數求函數的最小值,讓最小值等于3,解參數a.
解答:解:(1)因為f(x)=x-lnx,f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,所以當0<x<1時,f'(x)<0,此時函數f(x)單調遞減.
  當1<x≤e時,f'(x)>0,此時函數f(x)單調遞增.所以函數f(x)的極小值為f(1)=1.
(2)因為函數f(x)的極小值為1,即函數f(x)在(0,e]上的最小值為1.
g′(x)=
1-lnx
x2
,所以當0<x<e時,=g'(x)>0,此時g(x)單調遞增.
所以g(x)的最大值為g(e)=
1
e
1
2
,所以f(x)min-g(x)max
1
2
,所以在(1)的條件下,f(x)>g(x)+
1
2

(3)假設存在實數a,使f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],有最小值3,則f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x

①當a≤0時,f'(x)<0,f(x)在(0,e]上單調遞減,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=
4
e
,(舍去),此時函數f(x)的最小值是不是3.
②當0
1
a
<e
時,f(x)在(0,
1
a
]上單調遞減,f(x)在(
1
a
,e]上單調遞增.
所以(x)min=f(
1
a
)=1+lna=3,a=e2
,滿足條件.
③當
1
a
≥e
時,f(x)在(0,e]上單調遞減,f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=
4
e
,(舍去),此時函數f(x)的最小值是不是3.
綜上可知存在實數a=e2,使f(x)的最小值是3.
點評:本題主要考查利用函數的單調性研究函數的單調性問題,運算量較大,綜合性較強.
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103
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2
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2
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lnx
x
,其中e是自然對數的底,a∈R.
(Ⅰ)a=1時,求f(x)的單調區(qū)間、極值;
(Ⅱ)是否存在實數a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值,若不存在,說明理由;
(Ⅲ)在(1)的條件下,求證:f(x)>g(x)+
1
2

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