Question

（理）等差數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁=1，公差d≠0，已知數(shù)列成等比數(shù)列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（1）求數(shù)列{a_n}，{k_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n∈N⁺，n≥2時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得a₂²=a₁•a₅，從而可求d=2，故可求a_n=2n-1，從而，又等比數(shù)列中，公比，所以 ，故可求{k_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先考慮通式：，可得m=2時(shí)，，m≥3時(shí)，，再采用錯(cuò)位相減法即可求和證得．
解答：解：（1）a₂²=a₁•a₅⇒（1+d）²=1•（1+4d）⇒d=2，∴a_n=2n-1，
∴，
又等比數(shù)列中，公比，所以 ，
∴…（6分）
證明：（2），
m=2時(shí)，，m≥3時(shí)，∵3^m-1＞2m，∴，…（9分）
記，則，
相減得到：，
所以…（13分）
所以．…（14分）
點(diǎn)評：本題以數(shù)列為載體，綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查放縮法的運(yùn)用，考查數(shù)列與不等式，綜合性強(qiáng)．