Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，若方程有兩個相異實根，且，證明： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對原函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）由條件知的兩個相異實根分別為，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)遞減，由題意可知，故，所以，這樣就將化到了同一個單調(diào)區(qū)間上去，直接研究函數(shù)和0的關(guān)系即可,最終根據(jù)的單調(diào)性可以得到結(jié)果。

解析：（1）因為，

函數(shù)的定義域為，

因為，當(dāng)，即時， 對恒成立

所以在上是增函數(shù)，

當(dāng)，即時，由得或，

則在， 上遞增

在上遞減；

（2）設(shè)的兩個相異實根分別為，滿足，

且，

令的導(dǎo)函數(shù)，

所以在上遞減，由題意可知，

故，所以，令，

令，

則，

當(dāng)時， ，所以是減函數(shù)，

所以，

所以當(dāng)時， ，

因為， 在上單調(diào)遞增，

所以，故，

綜上所述， .