Question

（本題滿分13分)二次函數(shù)的圖像頂點為，且圖象在軸上截得線段長為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）令

①若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

②求函數(shù)在的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）①，②.

【解析】

試題分析：（1）求二次函數(shù)的解析式可用待定系數(shù)法，關(guān)鍵是要建立關(guān)于系數(shù)的三個方程，這里依據(jù)條件不難得到，若運用二次函數(shù)的頂點式，則顯得更方便；（2）二次函數(shù)的單調(diào)性以對稱軸為界，一邊增，一邊減，因此單調(diào)區(qū)間必須在對稱軸的一側(cè)；（3）二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的研究，一定要掌握好分類討論思想的運用，即按對稱軸與給定區(qū)間的相對關(guān)系，分軸在區(qū)間的左、中、右三種情況進行討論.

試題解析：（1）由條件設(shè)二次函數(shù)（），

設(shè)設(shè)的兩根為，且，因為圖象在軸上截得線段長為，由韋達定理得：

，解得，所以函數(shù)的解析式為：；

（2）①∵，∴，而函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，∴對稱軸在的左側(cè)，∴．所以實數(shù)的取值范圍是.

②，，對稱軸，

當時，，

當時，，

當時，.

綜上所述：.

考點：二次函數(shù)的綜合運用.