Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，3AD=DC=3，AB=2，E是DC上點，且滿足DE=1，連接AE，將△DAE沿AE折起到△D₁AE的位置，使得∠D₁AB=60°，設AC與BE的交點為O．
（1）試用基向量

AB

，

AE

，

AD1

表示向量

OD1

；
（2）求異面直線OD₁與AE所成角的余弦值；
（3）判斷平面D₁AE與平面ABCE是否垂直？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據向量的減法可知

OD1

=

AD1

-

AO

，而O為BE的中點可知

AO

=

1

2

（

AB

+

AE

），即可用基向量

AB

，

AE

，

AD1

表示向量

OD1

；
（2）設異面直線OD₁與AE所成的角為θ，然后根據向量的夾角公式cosθ=|cos＜

OD1

，

AE

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 |•| AE |

|進行求解；
（3）取AE的中點M，欲證平面D₁AE⊥平面ABCE，根據面面垂直的判定定理可知在平面D₁AE內一直線與平面ABCE垂直，而根據向量的垂直關系可知D₁M⊥AE，D₁M⊥AB，AE∩AB=A，滿足線面垂直的判定定理，則D₁M⊥平面ABCE，即可證得平面D₁AE⊥平面ABCE．

解答：解：（1）∵AB∥CE，AB=CE=2，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為BE的中點．
∴

OD1

=

AD1

-

AO

=

AD1

-

1

2

（

AB

+

AE

）
=

AD1

-

1

2

AB

-

1

2

AE

．

（2）設異面直線OD₁與AE所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜

OD1

，

AE

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 |•| AE |

|，
∵

OD1

•

AE

=（

AD1

-

1

2

AB

-

1

2

AE

）•

AE

=

AD1

•

AE

-

1

2

AB

•

AE

-

1

2

|

AE

|²
=1×

2

×cos45°-

1

2

×2×

2

×cos45°-

1

2

×（

2

）²
=-1，
|

OD1

|=

( AD1 - 1 2 AB  - 1 2 AE )2

=

6

2

，
∴cosθ=|

OD1 • AE

| OD1 |•| AE |

|=|

-1

6 2 × 2

|=

3

3

．
故異面直線OD₁與AE所成角的余弦值為

3

3

．
（3）平面D₁AE⊥平面ABCE．證明如下：
取AE的中點M，則

D1M

=

AM

-

AD1

=

1

2

AE

-

AD1

，
∴

D1M

•

AE

=（

1

2

AE

-

AD1

）•

AE

=

1

2

|

AE

|²-

AD1

•

AE

=

1

2

×（

2

）²-1×

2

×cos45°=0．
∴

D1M

⊥

AE

．∴D₁M⊥AE．
∵

D1M

•

AB

=（

1

2

AE

-

AD1

）•

AB

=

1

2

AE

•

AB

-

AD1

•

AB

=

1

2

×

2

×2×cos45°-1×2×cos60°=0，
∴

D1M

⊥

AB

，∴D₁M⊥AB．
又AE∩AB=A，AE、AB?平面ABCE，
∴D₁M⊥平面ABCE．
∵D₁M?平面D₁AE，
∴平面D₁AE⊥平面ABCE．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及異面直線及其所成的角和空間向量等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．