Question

如圖，ABCD是邊長為3的正方形，PD⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的夾角為60°
（1）求證：AC⊥平面PBD；
（2）求二面角C-PB-D的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得PD⊥AC，AC⊥BD，由此能證明AC⊥平面PBD．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出二面角C-PB-D的正弦值．

解答： （1）證明：∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∴AC⊥平面PBD．
（2）解：∵DA，DC，DP兩兩垂直，
∴建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖，
∵BE與平面ABCD所成角為60°，即∠DBP=60°，
∴

PD

DB

=

3

，由AD=3，得PD=3

6

，
∴D（0，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），P（0，0，3

6

），A（3，0，0），

PB

=（3，3，-3

6

），

PC

=（0，3，-3

6

），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =3x+3y-3 6 z=0 n • PC =3y-3 6 z=0

，
取z=

6

，得

n

=（0，6，

6

），
∵AC⊥平面PBD，∴平面PBD法向量為

AC

=（-3，3，0），
設(shè)二面角C-PB-D的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=|

18

42 • 18

|=

21

7

，
∴sinθ=

1-( 21 7

)2=

2 7

7

．
∴二面角C-PB-D的正弦值為

2 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．