Question

【題目】已知數(shù)列中， ，前項(xiàng)和滿足（）．

⑴ 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵ 記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

⑶ 是否存在整數(shù)對(duì)（其中， ）滿足？若存在，求出所有的滿足題意的整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) ， ， ．

【解析】試題分析： 當(dāng)時(shí),可得（），而當(dāng)時(shí)，

（），可得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

由知，代入，對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和；

要求出所有的滿足題意的整數(shù)對(duì)，根據(jù)題目意思表達(dá)出關(guān)于的表達(dá)式，

然后進(jìn)行討論。

解析：⑴ 當(dāng)時(shí)， 與相減，

得，即（），

在中，令可得， ，即；

故（），

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為；

⑵由⑴ 知，

，

則．

⑶，即，

即，

若存在整數(shù)對(duì)，則必須是整數(shù)，其中只能是的因數(shù)，

可得時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， ；

綜上所有的滿足題意得整數(shù)對(duì)為， ， ．