Question

2．設(shè)偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上f'（x）＜0，且f（2）=0，則不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＞0$的解集為（　�。�

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 先確定函數(shù)在（0，+∞﹚上是減函數(shù)，在（-∞，0）上是增函數(shù)，再將不等式等價變形，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解不等式．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上f'（x）＜0，
∴函數(shù)在（0，+∞﹚上是減函數(shù)，在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∵f（2）=0，∴f（-2）=0
不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＞0$等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞f（2）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-2）}\end{array}\right.$
∴0＜x＜2或x＜-2
故不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＞0$的解集為（-∞，-2）∪（0，2），
故選D．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查解不等式，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．