Question

如圖，已知AB為半圓O的直徑，BE、CD分別為半圓的切線，切點分別為B、C，DC的延長線交BE于F，AC的延長線交BE于E．AD⊥DC，D為垂足．
（1）求證：A、D、F、B四點共圓；
（2）求證：EF=FB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由FB是圓O的切線，知∠ABF=90°，由AD⊥DC，知∠ADF=90°，由此能夠證明A，D，F(xiàn)，B四點共圓．
（2）連接BC，則BC⊥AC，由DF是半圓的切線，知∠DCA=∠ABC，由∠DCA=∠ECF，知ECF=∠ABC，在Rt△ABE中，BC⊥AE，∠ECF=∠E，EF=FC，由FC，F(xiàn)B是半圓的切線，能夠證明EF=FB．
解答：證明：（1）∵FB是圓O的切線，
∴∠ABF=90°，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADF=90°，
∴A，D，F(xiàn)，B四點共圓．
（2）連接BC，則BC⊥AC，
∵DF是半圓的切線，
∴∠DCA=∠ABC，
∵∠DCA=∠ECF，
∴ECF=∠ABC，
在Rt△ABE中，BC⊥AE，
∴∠ABC=∠E，
∴∠ECF=∠E，∴EF=FC，
∵FC，F(xiàn)B是半圓的切線，
∴FC=FB，
∴EF=FB．

點評：本題考查四點共圓的證明和考查線段相等的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．