Question

某小微企業(yè)日均用工人數(shù)a（人）與日營(yíng)業(yè)利潤(rùn)f（x）（元）、日人均用工成本x（元）之間的函數(shù)關(guān)系為，f（x）=-

1

3

x³+5x²+30ax-500（x≥0）．
（1）若日均用工人數(shù)a=20，求日營(yíng)業(yè)利潤(rùn)f（x）的最大值；
（2）由于政府的減稅、降費(fèi)等一系列惠及小微企業(yè)政策的扶持，該企業(yè)的日人均用工成本x的值在區(qū)間[10，20]內(nèi)，求該企業(yè)在確保日營(yíng)業(yè)利潤(rùn)f（x）不低于24000元的情況下，該企業(yè)平均每天至少可供多少人就業(yè)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系即可求日營(yíng)業(yè)利潤(rùn)f（x）的最大值；
（2）利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）若a=20，f（x）=-

1

3

x³+5x²+600x-500（x≥0）．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-x²+10x+600=-（x+20）（x-30），
∵x≥0，
∴當(dāng)x∈[0，30）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（30，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，故當(dāng)x=30時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是最大值f（30）=13000．
（2）由f（x）=-

1

3

x³+5x²+30ax-500≥24000．得90a≥x²-15x+

73500

x

．
令h（x）=x²-15x+

73500

x

．
則h′（x）=2x-15-

73500

x2

，
∵h(yuǎn)′（x）=2x-15-

73500

x2

在[10，20]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴h′（x）≤h′（20）=40-15-

73500

400

＜0，
∴h（x）=x²-15x+

73500

x

在[10，20]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
則h（x）．在[10，20]上的最大值為h（10）=100-150+7350=7300．
則90a≥7300，即a≥

730

9

，
∴a最小為82人，
即企業(yè)平均每天至少可供82人就業(yè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．