Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面SDC⊥底面ABCD，AD=

2

，DC=SD=2，SC=2

2

，點(diǎn)M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：SD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C-AM-B的大�。�（Ⅲ）在線段BC求一點(diǎn)N，使點(diǎn)N到平面AMB的距離為

1

2

．

Answer 1

分析：（I）由已知中DC=SD=2，SC=2

2

，由勾股定理得SD⊥DC，結(jié)合已知中平面SDC⊥底面ABCD，及面面垂直的性質(zhì)定理可得SD⊥平面ABCD
（II）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出平面CAM的一個(gè)法向量和平面AMB的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C-AM-B的大�。�
（Ⅲ）設(shè)N（m，2，0），（m＞0），根據(jù)點(diǎn)到平面距離公式d=

| n2 • AN |

| n2 |

，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，即可得到N點(diǎn)位置．

解答：
證明：（Ⅰ）因?yàn)镈C=SD=2，SC=2

2

，
由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，
又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD?平面SDC，
所以，SD⊥平面ABCD．…（3分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DC，SD⊥AD，又AD⊥DC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．…（4分）
于是，A(

2

，0，0)，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），

AM

=(-

2

，1，1)，

AC

=(-

2

，2，0)，
設(shè)

n1

=(x，y，z)為平面CAM的一個(gè)法向量，
則

- 2 x+y+z=0 - 2 x+2y=0

，得

n1

=(

2

，1，1)…（6分）
又

AB

=(0，2，0)，設(shè)

n2

=(x，y，z)為平面AMB的一個(gè)法向量，
則

y=0 - 2 x+y+z=0

，得

n2

=(1，0，

2

)…（8分）
因?yàn)?span id="p6dgacg" class="MathJye">cos＜

n1

，

n2

＞=

2 + 2

2× 3

=

6

3

，所以二面角C-AM-B為arccos

6

3

…（9分）
（Ⅲ）設(shè)N（m，2，0），（m＞0），則

AN

=(m-

2

，2，0)，由公式d=

| n2 • AN |

| n2 |

，得m=

2

-

3

2

，
所以所求點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)N(

2

-

3

2

，2，0)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，點(diǎn)到平面間的距離計(jì)算，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題及點(diǎn)到直線距離問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．