Question

【題目】已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，記圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)軸下方一點(diǎn)向曲線作切線，切點(diǎn)記作、，直線交曲線于點(diǎn)，若直線、的斜率乘積為，點(diǎn)在以為直徑的圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，動(dòng)圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，則，從而得到答案.
（2）設(shè)直線：，，,求出過(guò)的切線方程，方程聯(lián)立，結(jié)合直線、的斜率乘積為，用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，則，建立關(guān)于的方程求解即可.

解：（1）設(shè)，則，

，即，

所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)直線：，，，

，

過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，

過(guò)點(diǎn)的切線方程為：，

聯(lián)立，解得，

所以，點(diǎn)，

，

所以點(diǎn)，則又，則，

由，直線的方程為，

代入拋物線,可得，

點(diǎn)在以為直徑的圓上，則，

，

，

整理得，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為：.