Question

16．在三棱錐C-ABO中，OA、OB、OC所在直線兩兩垂直，且OA=OB，CA與平面AOB所成角為60°，D是AB中點，三棱錐C-ABO的體積是$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（1）求三棱錐C-ABO的高；
（2）在線段CA上取一點E，當(dāng)E在什么位置時，異面直線BE與OD所成的角為arccos$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OA、OB、OC所在直線兩兩垂直，可得平面AOC，平面OCB，平面AB0是兩兩垂直．且OA=OB，CA與平面AOB所成角為60°，求解OC就是三棱錐C-ABO的高．
（2）由題意，OA⊥OB，以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，求出C，D的坐標(biāo)，設(shè)出E的坐標(biāo)，BE與OD所成的角為θ，利用異面直線BE與OD所成的角為arccos$\frac{1}{4}$，求出E的坐標(biāo)即可

解答 解：（1）OA、OB、OC所在直線兩兩垂直，即OC⊥OA，OC⊥OB，
∴OC⊥平面AOB
∴∠CAO就是CA與平面AOB所成角，
∴∠CAO=60°
設(shè)OA=OB=a，則$OC=\sqrt{3}a$
∴${V_{C-ABO}}=\frac{1}{3}{S_{ABO}}•CO=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{a^3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
∴a=1，
所以三棱錐C-ABO的高$OC=\sqrt{3}$．
（2）由題意，OA⊥OB，以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則$C（0，0，\sqrt{3}），D（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，
設(shè)$E（1-λ，0，\sqrt{3}λ）（λ∈[0，1]）$，
則$\overrightarrow{BE}=（1-λ，-1，\sqrt{3}λ），\overrightarrow{OD}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，
設(shè)BE與OD所成的角為θ，則$cosθ=\frac{{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{OD}|}}{{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{OD}|}}=\frac{1}{4}$．
∴$λ=\frac{1}{2}$或λ=-1（舍去）
所以當(dāng)E是線段CA中點時，異面直線BE與OD所成的角為$arccos\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．