Question

已知定點(diǎn)M（0，-2）為單位圓x²+y²=1外一點(diǎn)，N為單位圓上任意一點(diǎn)，∠MON的平分線交MN于Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：設(shè)Q、N的坐標(biāo)分別為（x，y）、（x₀，y₀），本題宜用代入法求軌跡方程，由角平分線的性質(zhì)，得到

|NQ|

|QM|

=

1

2

，將N點(diǎn)的坐標(biāo)用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示出來(lái)，再代入圓的方程即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程

解答： 解：設(shè)Q、N的坐標(biāo)分別為（x，y）、（x₀，y₀），則
由三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)，得

|NQ|

|QM|

=

1

2

．
∵M(jìn)（0，-2），Q、N的坐標(biāo)分別為（x，y）、（x₀，y₀），
∴（x，y+2）=2（x₀-x，y₀-y），
∴x₀=

3

2

x，y₀=

3

2

y+1
∵N在圓x²+y²=1上，∴x₀²+y₀²=1，
∴

9

4

x²+（

3

2

y+1）²=1，即x²+（y+

2

3

）²=

4

9

（x≠0）．

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)代入法、參數(shù)法，本題主要是利用直接法和相關(guān)點(diǎn)代入法，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．相關(guān)點(diǎn)代入法  根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．