Question

【題目】在正四面體P﹣ABC中，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，且 ，設(shè)異面直線 NM 與 AC 所成角為α，當(dāng) 時(shí)，則cosα的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ , ]
【解析】解：設(shè)P到平面ABC的射影為點(diǎn)O，取BC中點(diǎn)D，

以O(shè)為原點(diǎn)，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，

以O(shè)D為y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)正四面體P﹣ABC的棱長為4 ，

則A（0，﹣4，0），B（2 ，2，0），C（﹣2 ，2，2 ），P（0，0，4 ），M（﹣ ，1，2 ），

由 ，得N（ ），

∴ =（﹣ ，5﹣6λ，2 ）， =（﹣2 ，6，0），

∵異面直線 NM 與 AC 所成角為α， ，

∴cosα= = ，設(shè)3﹣2λ=t，則 ，

∴cosα= = ，

∵ ，

∴ ．

∴cosα的取值范圍是[ ， ]．

所以答案是：[ ， ]．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系．