Question

設(shè)點(diǎn)P（x，y）（y≥0）為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P到定點(diǎn)M(0，

1

2

)的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大

1

2

．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx+1與點(diǎn)P的軌跡相交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2

6

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）解法一：過(guò)P作x軸的垂線且垂足為N，由題意可知|PM|-|PN|=

1

2

，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．
解法二：由于點(diǎn)P到定點(diǎn)M(0，

1

2

)的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大

1

2

，可知：點(diǎn)P到定點(diǎn)M(0，

1

2

)的距離與P到直線y=-

1

2

的距離相等．利用拋物線的定義即可得出．
（2）把y=kx+1與拋物線的方程聯(lián)立可得關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得弦長(zhǎng)|AB|即可解出k．

解答： 解：（1）解法一：過(guò)P作x軸的垂線且垂足為N，
由題意可知|PM|-|PN|=

1

2

，
而y≥0，∴|PN|=y，∴

x2+(y- 1 2 )2

=y+

1

2

．
化簡(jiǎn)得x²=2y（y≥0）為所求點(diǎn)P的軌跡方程．
解法二：∵點(diǎn)P到定點(diǎn)M(0，

1

2

)的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大

1

2

．
∴點(diǎn)P到定點(diǎn)M(0，

1

2

)的距離與P到直線y=-

1

2

的距離相等．
可知：點(diǎn)P的軌跡是拋物線，點(diǎn)M為焦點(diǎn)，直線y=-

1

2

為準(zhǔn)線．
∴x²=-2y．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+1 x2=2y

得x²-2kx-2=0，
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2．
∴|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

4k2+8

=2

6

，
∴k⁴+3k²-4=0，而k²≥0，
解得k²=1．
∴k=±1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．