Question

2．直線l經(jīng)過點P（1，1）且與線C：y=x³相切，若直線l不經(jīng)過第四象限，則直線l方程是3x-4y+1=0．

Answer 1

分析 設切點為（x₀，y₀），根據(jù)解析式求出導數(shù)、y₀，由導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式方程求出切線方程，把點（1，1）代入切線方程通過因式分解求出x，代入切線方程化簡可得切線方程，利用直線l不經(jīng)過第四象限，得出直線l方程即可．

解答 解：設切點為（x₀，y₀），由題意得y=3x²，y₀=x₀³，
則切線的斜率k=3x₀²，
∴切線方程是：y-x₀³=3x₀²（x-x₀），①
∵切線過點（1，1），∴1-x₀³=3x₀²（1-x₀），
化簡得，2x₀³-3x₀²+1=0，
2（x₀³-1）-3（x₀²-1）=0，
則（x₀-1）（2x₀²-x₀-1）=0，
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$，代入①得：3x-y-2=0或3x-4y+1=0，
∴切線方程為3x-y-2=0或3x-4y+1=0．
∵直線l不經(jīng)過第四象限，
∴直線l方程是3x-4y+1=0．
故答案為：3x-4y+1=0．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，即點P處的切線的斜率是該點出的導數(shù)值，以及切點在曲線上和切線上的應用，注意在某點處的切線和過某點的切線的區(qū)別，考查化簡、計算能力．