【題目】已知函數
.
（1）當
時，求函數
的圖象在
處的切線方程；
（2）若函數
在定義域上為單調增函數.
①求
最大整數值；
②證明： 
.
【答案】（1）
；（2）①2；②見解析．
【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得切線斜率為
，再根據點斜式求切線方程（2）①先轉化條件為
恒成立，再根據
，得當
時， 
恒成立.最后舉反例說明當
時， 
不恒成立.②對應要證不等式，在
中取
，得
，再根據等比數列求和公式得左邊和為
，顯然
.
試題解析：（1）當
時， 
，∴
，
又
，∴
，
則所求切線方程為
，即
.
（2）由題意知， 
，
若函數
在定義域上為單調增函數，則
恒成立.
①先證明
.設
，則
，
則函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
∴
，即
.
同理可證
，∴
,∴
.
當
時， 
恒成立.
當
時， 
，即
不恒成立.
綜上所述， 
的最大整數值為2.
②由①知， 
，令
，
∴
，∴
.
由此可知，當
時， 
.當
時， 
，
當
時， 
， 
，當
時， 
.
累加得
.
又
，
∴
.
100分闖關期末沖刺系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2015·北京)某校老年、中年和青年教師的人數見下表，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本
中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數為（ ）
A.90
B.100
C.180
D.300
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a∈R，函數f（x）=log2（ 
+a）．
（1）當a=1時，解不等式f（x）＜0；
（2）若a＞0，不等式f（x）＜log2（x+ 
）恒成立，求a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一個元素，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓C： 
=1（a＞b＞0）過點（0，4），離心率為 
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為 
的直線被橢圓所截得線段的中點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的函數
同時滿足以下條件：①
在
上是減函數，在
上是增函數；②
是偶函數；③
在
處的切線與直線
垂直.
（1）取函數
的解析式；
（2）設
，若存在實數
，使
，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且 
a=2csinA．
（1）確定角C的大小；
（2）若c=3，且△ABC的面積為 
，求a2+b2的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知 
是函數f(x)的導函數，如果 是二次函數， 的圖象開口向上，頂點坐標為(1, 
) 
，那么曲線f(x)上任一點處的切線的傾斜角 
的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
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