Question

19．在如圖所示的六面體中，面ABCD是邊長為2的正方形，面ABEF是直角梯形，∠FAB=90°，AF∥BE，BE=2AF=4．
（Ⅰ）求證：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）若二面角E-AB-D為60°，求直線CE和平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）、連接AC，BD相交于點O，取DE的中點為G，連接FG，OG．只證AC∥FG，即可‘
（2）先證EC⊥平面ABCD，再以C為坐標原點，CB為x軸、CD為y軸、CE為z軸建立空間直角坐標系即可

解答 證明：（1）連接AC，BD相交于點O，取DE的中點為G，連接FG，OG．
∵ABCD是正方形，∴O是DB的中點，∴OG∥BE，OG=$\frac{1}{2}BE$，
又因為AF∥BE，AF=$\frac{1}{2}BE$，所以OG∥AF且OG=AF，
所以四邊形AOGF是平行四邊形，（3分）
∴AC∥FG，又因為FG?平面DEF，AC?平面EDF
∴AC∥平面DEF（5分）

（2）∵ABCD是正方形，ABEF是直角梯形，∠FAB=90°，∴DA⊥AB，F(xiàn)A⊥AB
∵AD∩AF=A，∴AB⊥平面AFD，同理可得AB⊥平面EBC．
又∵AB?平面ABCD，所以平面AFD⊥平面ABCD，
又因為二面角E-AB-D為60⁰，
所以∠FAD=∠EBC=60°，BE=2AF=4，BC=2，由余弦定理得EC=2$\sqrt{3}$，
所以EC⊥BC，又因為AB⊥平面EBC，∴EC⊥AB，所以EC⊥平面ABCD，（7分）
法一：以C為坐標原點，CB為x軸、CD為y軸、CE為z軸建立空間直角坐標系．則C（0，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2$\sqrt{3}$），F(xiàn)（1，2，$\sqrt{3}$），（8分）
所以$\overrightarrow{CE}=（0，0，2\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{DF}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EF}（1，2，-\sqrt{3}）$，設平面DEF的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0，\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0$即$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$令z=$\sqrt{3}$，則x=-3，y=3，
所以$\overrightarrow{n}=（-3，3，\sqrt{3}）$（11分）
設直線CE和平面DEF所成角為θ，
則sinθ=|cos$＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$|（12分）

點評 本題考查立體幾何中的線面關(guān)系，空間角，空間向量在立體幾何中的應用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、空間想象能力、等價轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化、或然與必然等數(shù)學思想，屬于中檔題．