已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n和為Sn，且
Sn
是
1
4
與（an+1）2的等比中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
an
2n
，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn；
（3）在（2）的條件下，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{
Tn+λ
an+2
}為等比數(shù)列？若存在，試求出λ；若不存在，說明理由．
（1）∵Sn=
1
4
(an+1)2，∴a1=S1=
1
4
(a1+1)2，∴a1=1（an＞0）
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=
1
4
(an+1)2-
1
4
(an-1+1)2，∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，
∴an-an-1=2，
∴{an}為等差數(shù)列．（4'）
（2）由（1）知，{an}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴an=2n-1
∴bn=
2n-1
2n
，①
Tn=
1
2
+
3
22
+…+
2n-1
2n
，①
1
2
Tn=    
1
22
+
3
23
+
5
24
+…+
2n-3
2n
+
2n-1
2n
②
①-②得：
1
2
Tn=
1
2
+2(
1
22
+
1
23
+
1
24
+
1
2n
)-
2n-1
2n+1

∴Tn=3-
2n-3
2n
（9'）
（3）∵
Tn+λ
an+2
=(3-
2n+3
2n
+λ)
1
2n+3
=
3+λ
2n+3
-
1
2n

易知，當(dāng)λ=-3時(shí)，數(shù)列{
Tn+λ
an+2
}為等比數(shù)列．（13'）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，并求Sn的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　　）
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2，點(diǎn)(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點(diǎn)（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項(xiàng)和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對(duì)?n∈N+恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案