Question

14．已知直線y=a分別與函數y=e^x+1和y=$\sqrt{x-1}$交于A，B兩點，則A，B之間的最短距離是（　　）

• A． $\frac{3-ln2}{2}$
• B． $\frac{5-ln2}{2}$
• C． $\frac{3+ln2}{2}$
• D． $\frac{5+ln2}{2}$

Answer 1

分析 首先求出AB兩點的坐標，后作差構造新函數h（a）=a²-lna+2，利用函數單調性求h（a）的最小值．

解答 解：已知直線y=a分別與函數y=e^x+1和y=$\sqrt{x-1}$交于A，B兩點
∴e^x+1=a＞0⇒x=lna-1；
$\sqrt{x-1}=a$⇒x=a²+1；
∴AB兩點之間的距離為：a²+1-lna+1=a²-lna+2
令h（a）=a²-lna+2
h'（a）=2a-$\frac{1}{a}$=$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$
由h'（a）=0，得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴當0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，h'（a）＜0，h（a）單調遞減；
當a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，h'（a）＞0，h（a）單調遞增；
∴h（a）≥h（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{5+ln2}{2}$
故選：D

點評 本題考查了兩點之間的距離，利用導數求函數最小值問題，屬中等題．