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9.已知△ABC內(nèi)接于圓O,且∠A=60°,若AO=xAB+yACxyR,則x+2y的最大值為( �。�
A.23B.1C.12D.2-223

分析 如圖所示.過點O分別作OD⊥AB,OE⊥AC,其垂足分別為D,E,則D,E分別為弦AB,AC的中點.由∠BAC=60°,可得ABAC=12bc.根據(jù)AO=xAB+yACxyR,可得AOAB=xAB2+yACAB,化為:12c2=xc2+12ybc.由AOAC=xABAC+yAC2,化為:122=12bcx+yb2.化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:如圖所示.
過點O分別作OD⊥AB,OE⊥AC,其垂足分別為D,E,
則D,E分別為弦AB,AC的中點.
∵∠BAC=60°,
ABAC=12bc.
AO=xAB+yACxyR
AOAB=xAB2+yACAB,化為:12c2=xc2+12ybc,即c=2xc+yb.
AOAC=xABAC+yAC2,化為:122=12bcx+yb2,即b=cx+2yb.
則x+2y=2cb3c+4b2c3b=2-13c+2c≤2-13×2c×2c=2-223.當(dāng)且僅當(dāng)b=2c時取等號.
故選:D.

點評 本題考查了圓的性質(zhì)、垂徑定理、向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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