Question

9．已知△ABC內(nèi)接于圓O，且∠A=60°，若$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}（x、y∈R）$，則x+2y的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示．過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，其垂足分別為D，E，則D，E分別為弦AB，AC的中點．由∠BAC=60°，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$bc．根據(jù)$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}（x、y∈R）$，可得$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+y$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，化為：$\frac{1}{2}{c}^{2}$=xc²+$\frac{1}{2}y$bc．由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$，化為：$\frac{1}{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$bcx+yb²．化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示．
過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，其垂足分別為D，E，
則D，E分別為弦AB，AC的中點．
∵∠BAC=60°，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$bc．
∵$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}（x、y∈R）$，
∴$\overrightarrow{AO}$$•\overrightarrow{AB}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+y$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$，化為：$\frac{1}{2}{c}^{2}$=xc²+$\frac{1}{2}y$bc，即c=2xc+yb．
$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$，化為：$\frac{1}{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$bcx+yb²，即b=cx+2yb．
則x+2y=$\frac{2c-b}{3c}$+$\frac{4b-2c}{3b}$=2-$\frac{1}{3}$$（\frac{c}+\frac{2c}）$≤2-$\frac{1}{3}$×$2\sqrt{\frac{c}×\frac{2c}}$=2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}$c時取等號．
故選：D．

點評 本題考查了圓的性質(zhì)、垂徑定理、向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．