Question

16．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$π
• C． $\frac{1}{2}$π
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π

Answer 1

分析 由三視圖，可得直觀圖是有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，底面為直角邊長分別為3，3$\sqrt{3}$的直角三角形，三棱錐的高為3$\sqrt{3}$，利用等體積方法求出內(nèi)切球的半徑，即可求出該幾何體的內(nèi)切球的體積．

解答 解：由三視圖，可得直觀圖是有一側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，底面為直角邊長分別為3，3$\sqrt{3}$的直角三角形，三棱錐的高為3$\sqrt{3}$，體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}×3\sqrt{3}$=$\frac{27}{2}$，三棱錐的表面積為2×$\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}×\sqrt{27+9}×3\sqrt{3}$×2=27$\sqrt{3}$，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則$\frac{1}{3}×27\sqrt{3}×r=\frac{27}{2}$，∴r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴該幾何體的內(nèi)切球的體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$，
故選D．

點評 本題考查了由三視圖求幾何體的面積體積的問題，注意三視圖中：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬．