Question

設函數(shù)的定義域為E，值域為F．
（1）若E={1，2}，判斷實數(shù)λ=lg²2+lg2lg5+lg5-與集合F的關系；
（2）若E={1，2，a}，F(xiàn)={0，}，求實數(shù)a的值．
（3）若，F(xiàn)=[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

解：（1）∵，∴當x=1時，f（x）=0；當x=2時，f（x）=，∴F={0，}．
∵λ=lg²2+lg2lg5+lg5-16=lg2（lg2+lg5）+lg5-=lg2+lg5-=lg10-=．
∴λ∈F．…
（2）令f（a）=0，即，a=±1，取a=-1；
令f（a）=，即，a=±2，取a=-2，
故a=-1或-2．…
（3）∵是偶函數(shù)，且f'（x）=＞0，
則函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)．
∵x≠0，∴由題意可知：或0＜．
若，則有，即，
整理得m²+3m+10=0，此時方程組無解；
若0＜，則有，即，
∴m，n為方程x²-3x+1=0，的兩個根．∵0＜，∴m＞n＞0，
∴m=，n=．…
分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）的解析式，將x∈{1，2}代入求出集合E，利用對數(shù)的運算性質(zhì)求出λ，進而根據(jù)元素與集合的關系可得答案；
（2）分別令f（a）=0，即，令f（a）=，即可求出實數(shù)a的值．
（3）求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)f（x）的值域為[2-3m，2-3n]，x∈[，]，m＞0，n＞0構造關于m，n的方程組，進而得到m，n的值．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查運算求解能力，考查方程思想，化歸與轉化思想．屬于基礎題．