已知a，b，c＞0，a+b+c=1，求證：（a+
1
a
）（b+
1
b
）（c+
1
c
）≥
1000
27
．
考點：基本不等式在最值問題中的應用
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：左邊=abc+（
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
）+（
c
ab
+
b
ac
+
a
bc
）+
1
abc
≥abc+
1
abc
+3
3abc
+
3
3abc
=(
3abc
+
1
3abc
)3，構(gòu)造函數(shù)f（x）=(x+
1
x
)3（x∈（0，
1
3
]），證明函數(shù)在（0，
1
3
]上單調(diào)遞減，即可證明結(jié)論．
解答： 證明：左邊=abc+（
bc
a
+
ac
b
+
ab
c
）+（
c
ab
+
b
ac
+
a
bc
）+
1
abc
≥abc+
1
abc
+3
3abc
+
3
3abc
=(
3abc
+
1
3abc
)3
構(gòu)造函數(shù)f（x）=(x+
1
x
)3（x∈（0，
1
3
]），
則f′（x）=3(x+
1
x
)2(1-
1
x2
)＜0，
∴函數(shù)在（0，
1
3
]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）=(x+
1
x
)3（x∈（0，
1
3
]）的最小值為
1000
27
，
∴(
3abc
+
1
3abc
)3的最小值為
1000
27
，
∴（a+
1
a
）（b+
1
b
）（c+
1
c
）≥
1000
27
．
點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應用，考查導數(shù)知識，考查學生分析解決問題的能力，有難度．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

乘積5×6×7×…×20等于（　�。�
A、A
 
17
20
B、A
 
16
20
C、A
 
15
20
D、A
 
14
20

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，ω∈Z，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M（
3π
4
，0）對稱，且在[0，
π
2
]上是單調(diào)函數(shù)．
（1）求ω和φ的值；
（2）求這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin2x+
3
cos2x．
（1）求f（x）的周期；
（2）寫出函數(shù)f（x）的圖象如何由y=sinx的圖象變換得到．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證平面AEC⊥平面PDB；
（2）當PD=
3
AB，且E為PB中點時，求AE與平面PDB所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：
（1）sin（180°+α）+cos（270°+α）；
（2）
sin(π+α)tan(π-α)
sin(2π+α)tan(2π+α)
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知B、C是兩個定點，|BC|=10，且△ABC的周長等于24，求頂點A的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某人用7把鑰匙去開門，其中只有一把鑰匙能打開門上的鎖，現(xiàn)逐個任取一把鑰匙試開，且打不開的鑰匙不放回，設X為找到此門鑰匙的開門次數(shù)．
（1）列出關于隨機變量X的分布列；
（2）求關于隨機變量X的期望與方差．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是 
AC
的中點，BD交AC于E．
（1）若CD=2
3
，O到AC的距離為1，求⊙O的半徑r；
（2）求證：DC2=DE•DB．

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