Question

已知sinα+sinβ=

2

，cosα+cosβ=

2 3

3

，求cos(α-β)，tan

α+β

2

，sin(α+β)，tanαtanβ．

Answer 1

分析：先把題設(shè)中等式兩邊平方求得sinαsinβ和cosαcosβ，兩式相加求得cos（α-β），相減求得cos（α+β）相除求得tanαtanβ，進(jìn)而根據(jù)cos（α+β）求得sin（α+β），根據(jù)萬能公式求得tan

α+β

2

．

解答：解：∵sinα+sinβ=

2

，cosα+cosβ=

2 3

3

∴1+2sinαsinβ=2，1+2cosαcosβ=

4

3

，
∴sinαsinβ=

1

2

，cosαcosβ=

1

6

∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαcosβ=

1

2

+

1

6

=

2

3

，tanαtanβ=

sinαsinβ

cosαcosβ

=3
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαcosβ=

1

3

sin（α+β）=±

1- 1 9

=±

2 2

3

∵cos（α+β）=

1-tan2 α+β 2

1+tan2 α+β 2

=

1

3

∴tan

α+β

2

=±

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和公式，萬能公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．三角函數(shù)中的公式較多，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)記憶．