(滿分14分)如圖,在四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,
(Ⅰ)求證:平面BCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求點E到平面ACD的距離.
⑴證明:見解析; (2) . (3)
.
【解析】(1)因為AB=AD,O為BD的中點,所以下面再根據(jù)勾股定理證
即可.
(II)先找出異面直線所成的角是解本小題的關(guān)鍵.取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點知,∴ 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.然后再把角放在三角形OEM中求解即可.
(III)本小題求點到平面的距離可以利用體積法求解.設(shè)點E到平面ACD的距離為
然后根據(jù)求解.
⑴證明:連結(jié)OC
…
1分
,
. ……… 2分
在中,由已知可得
… 3分
而,
… 4分
即
……… 5分
∴
平面
. ……… 6分
方法一:⑵解:取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點知,
∴ 直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角,…… 8分
在中,
是直角
斜邊AC上的中線,∴
……………9分
∴ ………… 10分
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為. ………………………… 11分
⑶.解:設(shè)點E到平面ACD的距離為.
,
…12分
在中,
,
,而
,
.
∴, ∴點E到平面ACD的距離為
…14分
方法二:(2)解:以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標系,則
, …… 9分
∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為.…… 10分
(3)解:設(shè)平面ACD的法向量為則
,∴
,
令得
是平面ACD的一個法向量.又
∴點E到平面ACD的距離 .…14分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)
如圖:在四棱錐中,底面ABCD是菱形,
,
平面ABCD,點M,N分別為BC,PA的中
點,且
(I)證明:平面AMN;
(II)求三棱錐N的體積;
(III)在線段PD上是否存在一點E,使得
平面ACE;若存在,求出PE的長,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)如圖,已知平面
,
∥
,
是正三角形,且
.
(1)設(shè)是線段
的中點,求證:
∥平面
;
(2)求直線與平面
所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年浙江省寧波市十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本題滿分14分)
如圖,A是單位圓與軸正半軸的交點,點B、P在單位圓上,且
,
,
,四邊形OAQP的面積為S.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求的最大值及此時
的值
0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江蘇省淮安七校高二上學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)
如圖,在四面體中,
,點
分別是
的中點.
求證:
(1)直線平面
;
(2)平面平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年廣東省高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本題滿分14分)
如圖所示,已知曲線與曲線
交于點O、A,直線
(0<t≤1)與曲線C1、C2分別相交于點D、B,連接OD、DA、AB。
(1)寫出曲邊四邊形ABOD(陰影部分)的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求函數(shù)在區(qū)間
上的最大值。
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