Question

17．如圖，A₁，A₂為橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的長軸的左、右端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，S，Q，T為橢圓上不同于A₁，A₂的三點(diǎn)，直線QA₁，QA₂，OS圍成一個平行四邊形OPQR，則|OS|²+|OT|²=（　�。�

• A． 5
• B． 3+$\sqrt{5}$
• C． 9
• D． 14

Answer 1

分析 不妨取Q為上頂點(diǎn)，則k_OS=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，k_OT=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，OS的方程為y=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，OT的方程為y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1可得S、T的坐標(biāo)，即可求出|OS|²+|OT|²．

解答 解：不妨取Q為上頂點(diǎn)，則k_OS=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，k_OT=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴OS的方程為y=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，OT的方程為y=$\frac{\sqrt{5}}{3}$x，
代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1可得S（-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$），T（$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$），
∴|OS|²+|OT|²=2×（$\frac{9}{2}$+$\frac{5}{2}$）=14，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．