【題目】已知函數(shù)為實數(shù)).

(1)當,求函數(shù)的圖象在點處的切線方程;

(2)設函數(shù)(其中為常數(shù)),若函數(shù)在區(qū)間上不存在極值,且存在滿足的取值范圍;

(3)已知,求證

【答案】(1)(2)(3)詳見解析

【解析】

試題分析:(1)由導數(shù)幾何意義得,先求導數(shù),代入得切線斜率為2,因為,所以根據點斜式可得切線方程(2)不存在極值,即函數(shù)導數(shù)不變號,先求函數(shù)導數(shù),因此,存在性問題,轉化為對應函數(shù)最值:即由存在滿足,得,結合二次函數(shù)最值求法,即對稱軸與對應區(qū)間位置關系分類討論:,;,,再分別求解對應不等式,得的取值范圍;(3)利用導數(shù)證明不等式,關鍵在于構造恰當?shù)暮瘮?shù),可利用導數(shù)得,因此有不等式,令,則,最后根據疊加法可證不等式

試題解析:(1)當,,,

,,

函數(shù)的圖象在點處的切線方程為:,

(2),解得,

由于函數(shù)在區(qū)間上不存在極值,所以,

由于存在滿足,所以

對于函數(shù),對稱軸,

,,

,結合可得;

,,,

,,結合可知不存在

,;

,結合可知

綜上可知,的取值范圍是

(3)證明:當,

,,單調遞增;

,,單調遞減,

處取得最大值

,

,,即

,

練習冊系列答案
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