Question

若x∈（2，4），a=，b=（2^x）²，c=，則a、b、c的大小關系是________．

Answer 1

a＞c＞b
分析：要比較a、b、c的大小關系，可以把a、b、c化簡成以2為底的指數(shù)形式，主要是比較x²、2x、2^x的大小，然后借助于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得結論．
解答：b=（2^x）²=2^2x，a、b、c都是以2為底的指數(shù)形式，y=2^t在R上是增函數(shù)，只需要比較它們的指數(shù)x²、2x、2^x的大小就可以，
作差法：
（1）比較b、c大小時
構造f（x）=2^x-2x，則f^′（x）=2^xln2-2，f^′（x）為增函數(shù)，在x∈（2，4）上，最小值為4ln2-2，ln2≈0.6931，最小值大于0，故f^′（x）＞0．因此f（x）在（2，4）為增函數(shù)
又f（2）=0，所以當x∈（2，4）時，f（x）＞0，則2^x＞2x
∴c＞b
（2）比較a、c大小時
構造g（x）=x²-2^x，則g（x）在（0，+∞）上有兩個交點（2，4），（4，16）且在x∈（2，4）上有x²＞2^x，
∴a＞c
綜上，a、b、c的大小關系是a＞c＞b
故答案為a＞c＞b
點評：本題考查了不等式的大小比較，解答的關鍵是比較x²、2x、2^x的大小，其中運用了構造法，訓練了函數(shù)的零點問題，同時考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．