Question

在△ABC中，M為AB的三等分點(diǎn)，AM：AB=1：3，N為AC的中點(diǎn)，BN與CM交于點(diǎn)E，

AB

=

m

，

AC

=

n

，則

AE

=

1

5

m

+

2

5

n

．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)N作AB的平行線交CM于點(diǎn)D，在△CAM中利用線段成比例，可得ND與AM的比值，從而得到NE與NB的比值，最后根據(jù)向量的線性表示可用向量

m

，

n

表示向量

AE

．

解答：解：過(guò)點(diǎn)N作AB的平行線交CM于點(diǎn)D，
∵N為AC的中點(diǎn)，
∴在△CAM中

CN

CA

=

ND

AM

=

1

2

，
∵AM：AB=1：3，
∴NE：EB=ND：MB=1：4，則

NE

=

1

5

NB

，
而

AE

=

AN

+

NE

=

AN

+

1

5

NB

=

AN

+

1

5

(

AB

-

AN

)
=

1

5

AB

+

4

5

AN

=

1

5

AB

+

2

5

AC

=

1

5

m

+

2

5

n

，
故答案為：

1

5

m

+

2

5

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出出三角形一邊的中點(diǎn)和一邊的三等分點(diǎn)，求向量

AE

的線性表示式，著重考查了平面向量基本定理和平行線分線段成比例定理等知識(shí)，屬于中檔題．