Question

5．函數$f（x）=|{x^2}-\frac{1}{2}{a^2}|（a＞0），f（m）=f（n）$，且m＜n＜0，若點P（m，n）到直線$\sqrt{3}x+y-10=0$的最大距離為8時，則a的值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 如圖所示，可得：$m＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$a＜n＜0．由f（m）=f（n），可得m²-$\frac{1}{2}{a}^{2}$=-$（{n}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}）$，即m²+n²=a²．利用點到直線的距離公式可得：原點O到直線直線$\sqrt{3}x+y-10=0$的距離5．根據點P（m，n）到直線$\sqrt{3}x+y-10=0$的最大距離為8時，即可得出a．

解答 解：如圖所示
可得：$m＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$a＜n＜0．
∵f（m）=f（n），
∴m²-$\frac{1}{2}{a}^{2}$=-$（{n}^{2}-\frac{1}{2}{a}^{2}）$，
化為：m²+n²=a²．圓心為原點O．
原點O到直線直線$\sqrt{3}x+y-10=0$的距離d=$\frac{10}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=5．
∵點P（m，n）到直線$\sqrt{3}x+y-10=0$的最大距離為8，即5+a=8時，a=3．
故選：B．

點評 本題考查了二次函數的圖象與性質、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．